Piani fattoriali completi: 2^k, modelli lineari e quadratici, center point
La sezione 4.4 del Body of Knowledge IASSC, riservata alla Black Belt, descrive il piano sperimentale di riferimento: quello in cui si provano tutte le combinazioni dei fattori ai loro livelli. È il piano che dà l'informazione più completa, ed è anche quello che costa di più.
Il piano 2^k
La notazione dice tutto: k fattori, ciascuno a 2 livelli, tutte le combinazioni. Con tre fattori le prove sono 2³ = 8; con quattro, 16; con sette, 128. La crescita è esponenziale, ed è la ragione per cui oltre i cinque fattori si passa quasi sempre ai piani frazionari.
I due livelli si codificano convenzionalmente come −1 e +1. La codifica non è un dettaglio estetico: rende i coefficienti del modello direttamente confrontabili fra loro, indipendentemente dall'unità di misura dei fattori, e semplifica il calcolo degli effetti.
L'effetto principale di un fattore è la differenza fra la risposta media al livello alto e quella al livello basso. L'effetto di interazione fra due fattori misura quanto l'effetto del primo cambia al variare del secondo. In un piano completo tutti gli effetti — principali e interazioni di ogni ordine — sono stimabili separatamente.
Piani bilanciati e ortogonali
Un piano è bilanciato quando ogni livello di ogni fattore compare lo stesso numero di volte. È ortogonale quando gli effetti stimati sono indipendenti fra loro: cambiare la stima di un fattore non altera quella degli altri.
L'ortogonalità è la proprietà che rende i piani fattoriali così efficienti. Significa che ogni prova contribuisce alla stima di tutti gli effetti contemporaneamente — al contrario dell'approccio un fattore alla volta, dove ogni prova serve a un solo confronto. Con otto prove un piano 2³ stima tre effetti principali, tre interazioni doppie e una tripla; con otto prove OFAT si stimano tre effetti e nessuna interazione.
Modelli lineari e quadratici
Un piano a due livelli può stimare solo effetti lineari e interazioni: con due punti si traccia una retta, non una curva. È un limite intrinseco, non un difetto del piano.
Se la relazione fra fattore e risposta ha un massimo o un minimo — situazione tipica quando esiste un valore ottimale del parametro — il piano a due livelli non lo vede, e può concludere che il fattore non conta perché i due estremi danno la stessa risposta.
I center point
Il rimedio sono i center point: alcune prove eseguite al valore centrale di tutti i fattori, cioè in corrispondenza dello zero della scala codificata. Aggiungerne tre o quattro a un piano fattoriale costa poco e serve a due cose.
La prima è rilevare la curvatura: se la risposta media ai center point si discosta significativamente dalla media delle prove ai vertici, la relazione non è lineare e il piano va esteso a un modello a superficie di risposta. La seconda è stimare l'errore sperimentale: essendo repliche vere della stessa condizione, i center point danno una misura pulita della variabilità naturale del processo — senza dover replicare l'intero piano.
Buona pratica: aggiungere sempre center point a un piano fattoriale a due livelli, quando i fattori sono continui. Il costo è di poche prove; il ritorno è sapere se il modello lineare regge, invece di darlo per scontato.
Fit e diagnosi del modello
Analizzato l'esperimento, il modello va verificato prima di essere usato. I passaggi sono quattro.
Si guarda quali effetti sono significativi — il Pareto degli effetti li ordina per grandezza e mostra la soglia di significatività; si applica il principio di gerarchia, per cui se un'interazione è significativa restano nel modello anche i suoi effetti principali, anche se singolarmente non lo sono; si esamina la curvatura con i center point; e si controllano i residui, esattamente come nella regressione.
L'ultimo passaggio è la prova di conferma: si imposta il processo alla combinazione che il modello indica come ottimale e si verifica che la risposta cada nell'intervallo previsto. Se non ci cade, il modello ha un problema — ed è meglio scoprirlo su qualche prova che dopo aver cambiato il processo.
Nel syllabus IASSC
4.4 Piani fattoriali completiBlack
- 4.4.1 Piani fattoriali 2^k
- 4.4.2 Modelli matematici lineari e quadratici
- 4.4.3 Piani bilanciati e ortogonali
- 4.4.4 Fit, diagnosi del modello e center point
Dove continuare
- Fase Improve: le altre sotto-sezioni del programma
- Syllabus IASSC completo: 5 fasi, 21 sotto-sezioni, 92 argomenti
- Design of Experiments: principi e progettazione
- Piani fattoriali frazionari: quando le prove sono troppe
- Corsi e certificazioni Lean Six Sigma di BITIL
Domande frequenti
Quando conviene un piano completo invece di uno frazionario?
Quando i fattori sono pochi — fino a quattro o cinque — e interessa stimare le interazioni con precisione. Sopra i cinque fattori il numero di prove cresce oltre il ragionevole e il frazionario diventa la scelta obbligata, almeno per la fase di screening.
Perché i livelli si codificano come −1 e +1?
Perché rende i coefficienti confrontabili fra loro a prescindere dalle unità di misura: un fattore espresso in gradi e uno in minuti producono coefficienti direttamente leggibili come importanza relativa. Semplifica anche il calcolo degli effetti e rende ortogonale la matrice del piano.
A che cosa servono davvero i center point?
A due cose: verificare se la relazione è lineare, cosa che un piano a due livelli da solo non può fare, e stimare l’errore sperimentale con poche prove aggiuntive invece di replicare l’intero piano. Costano poco e sono quasi sempre convenienti.
